George Melnikov (mr_parson) wrote,
George Melnikov
mr_parson




Уравнения математической магии - раз


– Г-голубчики, – сказал Федор Симеонович озадаченно, разобравшись в почерках. – Это же п-проблема Бен Б-бецалеля. К-калиостро же доказал, что она н-не имеет р-решения.

– Мы сами знаем, что она не имеет решения, – сказал Хунта, немедленно ощетиниваясь. – Мы хотим знать, как ее решать.

– К-как-то ты странно рассуждаешь, К-кристо... К-как же искать решение, к-когда его нет? Б-бессмыслица какая-то...

два

К середине 19 века, стараниями всяких Коши математика из схоластики, решающей прикладные задачи, превратилась в ту математику, что нам известна - с аксиомами, теоремами и проч. Начали активно решать всякие дифуры и наткнулись на фэномэн неустойчивости решения в прикладных задачах. Наверняка раньше наткнулись, но дяденька Адамар со своим примером остался в веках (позапрошлый, прошлый, нынешний. В веках, да). Отить, есть уравнение, простое и привычное. Зададим начальные данные, получим результат, все прекрасно. А если ошиблись? Ну на волосиночку, ну на полвздоха, ну на пожелать моргнуть? Все, ответ будет ну совсем другой. Ну наткнулись и наткнулись, делов то. Теперь, прежде чем решать уравнение, его стали исследовать на устойчивость. Вкупе к существованию и единственности решения.

Так и жили. Ставили задачу, рисовали уравнение, потом раз-два-три - решение есть? одно? устойчивое? нет - все, не работает, задача не имеет решения в правильном смысле этого слова, не будем ею заниматься, других проблем хватает.

Ну а потом заверте (все ли в курсе, что я процитировал порнографическое произведение? ггг). Ибо, в первую очередь, добрались до обратных задач. [не все представляют, что это, попытаюсь изложить] Очень уж часто хочется решить не "прямую задачу" типа, "вот ежели я сюда тыкну паяльником, какой столб дыма поднимется", а обратную "знатно орет чувак. Интересно, чем его стукнули?". Не по входным данным получить результат, а наоборот - по результату определить характеристики входных данных. И тут корректную задачу фиг найдешь. Ибо меряем неточно, в ограниченной области, да еще дискретно.

Ах, да, я же про математика спрашивал. Андрей Тихонов - родитель теории решения некорректных задач. Опять-таки, наверняка не он первый, но он книжку написал, хорошую. Да и ласковые глаза Лаврентий Палыча могли, подозреваю, на многое сподвигнуть. Там еще в прошлой записи спрашивали, какой он организатор, хых. Дык факультет организовал в МГУ, мало штоле?

Дык про методы. Подход прост, как не бей лежачего. Мы знаем, что решение одно. И мы *предполагаем*, что знаем об этом решении нечто. Давайте же теперь это знание введем малым (ну очень очень малым) параметром в уравнения, которые решают нашу задачу. Опаньки, а задача то стала корректной.

Мой любимый пример, самый наглядный - интегральные уравнения первого и второго рода, но я его приводить не буду. А вот еще, когда у линейной системы уравнений тыща, а переменных пара десятков... Не, тоже не буду. :)

А вот самый простой пример почему не привести. Скажем, надо поделить одну на другую две разности. Ну пусть это будет численное дифференцирование. И сверху, и снизу - результаты эксперимента. Какова вероятность того, что внизу в результате разности будет ноль? Один на миллион, то есть постоянно. Но мы же знаем, что в этой точке производная есть, и, мнэээ, ну не очень уж так велика (нукак знаем....). Дык давайте не просто делить, а делить, а внизу к результату вычитания прибавлять совсем чуть чуть (ну там еще модуль, но идея ясна). И вот - бац, никаких тебе нулей.

Ну и по стеку возвращаясь к геофизике. Конечно, пользуются априорной информацией (ГИС - геологическое исследование скважины. В районе скважины мы всегда знаем, где какие слои). Именно на ее основе делают всеразличные регуляризаторы, те самые маленькие дополнения к уравнениям. На основе априорной информации уточняют модели среды, итеративно приближаются к решению, которое частенько оказывается неверным, бо этой априорной информации не хватило. Но считать, что раз так, народ занимается профанацией? Ну считайте, чо. А народ будет дальше успешно нефть искать. По меткой аналогии одного знакомого, любое месторождение суть таз с нефтью, в котором десяток стаканов стоит. И если таз легко выкачать, то в стаканы попасть... А щаз научились скважины так точно бурить, что горизонтально попадают в пласт. с точностью метров до пяти. Профанация, ога.

ПС. Писать научпоп тяжело и не умею.
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 8 comments